math さんの問題について、「2次曲線について１．2次曲線の非線形写像によるイメージ」を Mathematica と手計算で、解きました。
先日、その問題 (1) に関して、math さんよりMathematica のプログラムをいただきました。とても参考になったので記事にさせていただきました。（メモリーの関係でグラフィックは省略させていただきました）
(1) において、xを消去するのに Eliminateという関数が用いられています。オリジナルバージョンでは、式の形をみながら、手動でxを消去しました。自動で消去してくれるのですね。素晴らしい！
(2) の整数解に関しては、「x^2+8xy+4y^2+2x+4y+1=0の整数解！」で、WolframAlphaで、解きました。双曲型の不定方程式といわれ、この場合は無限個の解を持ちます。（どうやって解くかはわかりません）
オリジナル
before =(x-1)*y-(2*x-3)
X0=16+2(*-7*) ;(*<------可変です*)
F[x_,y_]:={(2-y)/(2x*y-2x-y), (1-x)/(2x*y-2x-y)}//Evaluate
F[x,(2*x-3)/(x-1)];
%//Together;
{X,Y}==%
Eliminate[%,x];
%[[2]]-%[[1]]//Expand
EliDE=%/.{X->x,Y->y}(*//TraditionalForm*)
pts={x,y}/.FindInstance[%==0&&-X0<x<X0&&-X0<y<X0,{x,y},Integers,170]
Pair=ListPlot[%,PlotStyle->{Magenta,PointSize[0.025]},PlotRange->All];
Fa=ContourPlot[{EliDE},{x,-X0,X0},{y,-X0,X0},PlotPoints->200,AspectRatio->Automatic,Axes->True,Contours->69];
AS=ContourPlot[{1/9 (-3 x+(6 Sqrt[3]-12) y+Sqrt[3]-3) (3 x+(12+6 Sqrt[3]) y+Sqrt[3]+3)==0,EliDE==0,before==0},{x,-X0,X0},{y,-X0,X0},AspectRatio->Automatic,Axes->True]
Show[Fa,AS,Pair]
%//Timing
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math (日曜日, 08 11月 2020 11:35)
C;x^4+2 x^2 y^2-x^2+y^4+y^2=0
[ 高1までに學ぶ 易しい 放物線 とは
異なり 2次の 倍返しの 4次曲線]
C を定める。
F(x,y)=((2 x-4 x (x^2+y^2))/(4 x^4+8 x^2 y^2-2 x^2+4 y^4+2 y^2),(-4 y (x^2+y^2)-2 y)/(4 x^4+8 x^2 y^2-2 x^2+4 y^4+2 y^2))なる
非線型写像 F による C の 像F(C) を
◆多様な発想で◆求めて下さい;
〈算数クイズ>解けそうで解けない激ムズ問題！
とは 異なりますが 激ムズ問題の範疇です...
[次数は 4*3とまでは イカヌ]
●不定方程式 の解集合 F(C)∩Z^2
の 導出法を 明記し● 世界に公表願います;
全国・数學 研究大会で 問題提起をも願います；
↓ 「そんな時代も あった よネ-----」
https://butipanther.hatenablog.com/entry/20111016/p2
https://www.youtube.com/watch?v=Ry_bpaKDcAo