２次曲線 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 の判別式 Δ=b^2-4ac とします。このとき、２次曲線は
Δ>0 ⇔双曲線、Δ=0 ⇔ 放物線、Δ<0⇔ 楕円
となりますが、２次曲線が双曲線の場合、次のような解法が考えられます。
２次曲線の方程式－定数＝(漸近線の方程式）×（漸近線の方程式）
と因数分解します。使うのは解の公式と、2次方程式の判別式です。
アイデアは、双曲線の標準形a^2 x^2-b^2 y^2 =±1 0<a, 0<b のとき、２次曲線の方程式は
a^2 x^2-b^2 y^2 =０
(ax+by)(ax-by)=0
y=±ax/b
と、漸近線の方程式の積となっている！ことです。
具体例をMathematicaで解いてみました。
２次曲線について１．～４．Mathematica nbファイル ダウンロード ☜
http://kobayashika64.web.fc2.com/blog/2jikyokusenblog.zip
ダウンロードできない時は、このURLをアドレスバーに張り付けてダウンロードしてみてください。
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math (日曜日, 25 10月 2020 21:15)
C;4 x+y^2+38 y+357=0
[ 高1までに學ぶ 易しい 放物線] を定める。
F(x,y)=(-(4/(4 x+2 y^2+38 y)),(-2 y-38)/(4 x+2 y^2+38 y))なる 非線型写像による C の像を
◆多様な発想で◆求めて
もし F(C)が 双曲線なら 漸近線を多様な発想で求めて F(C) と共に図示し
共軛な双曲線をも 図示願います；
●不定方程式 の解集合 F(C)∩Z^2
の 導出法を 明記し● 世界に公表願います;
全国・数学教育研究大会で 問題提起をも願います；
math (月曜日, 26 10月 2020 14:02)
(* f[x,y]=2 x+x^2+4 y+8 x y+4 y^2
f による k上のファイバー(fibre, fiber)を考え 判別式を2度求め でも 叶う(姉妹);*)
X0 = 1;
ContourPlot3D[{2 x + x^2 + 4 y + 8 x y + 4 y^2 == k, k == -2/3,
k == -2/3 - 1/4, k == -2/3 + 1/4},
{x, -X0, X0}, {y, -X0, X0}, {k, -X0, X0 - 1.069}, Mesh -> None,
ContourStyle ->
Directive[Yellow, Opacity[0.6969], Specularity[White, 194]]]
2 x + x^2 + 4 y + 8 x y + 4 y^2 - k
Discriminant[%, y]
Discriminant[%, x]
Solve[% == 0, k]
%%%% /. %[[1]]
Factor[%, Extension -> Sqrt[3]]
Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]
Table[2 x + x^2 + 4 y + 8 x y + 4 y^2 == k, {k, -19, 19}]
Fiver = ImplicitPlot[%, {x, -4, 4}, {y, -5, 6},
PlotStyle -> {{Thickness[0.00071], RGBColor[0.3, 0.4, 0.5]}},
PlotPoints -> 117, AspectRatio -> Automatic, PlotPoints -> 194,
GridLines -> Automatic]
2 x + x^2 + 4 y + 8 x y + 4 y^2 == -2/3;
s = Solve[%, y] // FullSimplify // PowerExpand;
y /. s
L1L2 = Plot[%, {x, -4.69, 4.69}, AspectRatio -> Automatic,
PlotPoints -> 194, GridLines -> Automatic]
H = ImplicitPlot[
2 x + x^2 + 4 y + 8 x y + 4 y^2 == -2/3, {x, -4, 4}, {y, -6, 6},
PlotStyle -> {{Thickness[0.01], RGBColor[0.5, 0.1, 0.5]}},
PlotPoints -> 117, AspectRatio -> Automatic, PlotPoints -> 194,
GridLines -> Automatic];
Show[L1L2, H, Fiver, AspectRatio -> Automatic, GridLines -> Automatic]
小林 (火曜日, 27 10月 2020 14:10)
math 様
判別式を利用した双曲線の方程式の求め方。私は力ずくで計算しましたが、スッキリ書けているので、これなら Fanction にできるかもしれません。また、ネタにさせてください。
特に、Sqrt[(3x+1)^2] を±(3x+1)にするところを、手動で行いましたが自動でできているので、驚きました。パラメーターは奥深いです。
ImplicitPlot は相変わらず動きません。
問題の方は、また解いていきたいです。
●不定方程式 の解集合 F(C)∩Z^2
の 導出法を 明記し● 世界に公表願います;
全国・数学教育研究大会で 問題提起をも願います；
☞なかなか公表などの術を持っておりませんが、そんなことも出来たらいいなと思います。
とりあえず、ブログで発信をしていきます✌
math (木曜日, 29 10月 2020 15:30)
https://www.quora.com/If-x-3-y-3-3xy-1-what-is-the-minimum-value-of-x-2-y-2
に Leo Harten 氏 が 解答を 素敵な発想で
寄せている:
Leo Harten, BS, MS Physics & Mathematics, Massachusetts Institute of Technology (1977)
Answered January 28, 2019
Lagrange multiplier method
to minimize f=x^2+y^2 with the constraint g=x^3+y^3+3*x*y-1=0.
x^3+y^3+3*x*y=1では
余りに特殊すぎるので 改竄します；
C; x^3+y^3+3*x*y+3=0 とする.
(1) Cの下で x^2+y^2 の最小値を
多様な発想で求めて下さい;
Leo Harten 師にも倣い;
(2) F(x,y)=((-3 x^2-3 y)/(3 x^3+6 x y+3 y^3),
(-3 x-3 y^2)/(3 x^3+6 x y+3 y^3))
なる 非線型写像 Fによる C の像 F(C)を
◆多様な発想で◆求めて下さい;
グラフは伊達に描くものではアリマセン
と テニスプレイヤー 公子も云う。
https://www.youtube.com/watch?v=bR889Fm6sRg
像 F(C)を描いて
尖閣の 尖点が あれば それらを求めて下さい;
C に 漸近線が存在すれば それを
◆多様な発想で◆導出過程を明記し
求めて下さい;
●不定方程式 の解集合 F(C)∩Z^2
の 導出法を 明記し● 世界に公表願います;
全国・数学教育研究大会で 問題提起をも願います；
https://ja.wikipedia.org/wiki/Quora
math (木曜日, 29 10月 2020 15:40)
https://www.quora.com/If-x-3-y-3-3xy-1-what-is-the-minimum-value-of-x-2-y-2
<---つながらない.....?
math (金曜日, 30 10月 2020 19:24)
C1;64 x^2-200 x y+292 x+64 y^2-364 y-59=0
C2;25 x^2+44 x y-12 x+17 y^2+4 y+4=0
C1 の君の名は:___ ___ ___ ___ __
C2 の君の名は:___ ___ ___ ___ __
https://pc.video.dmkt-sp.jp/ti/10018382
ロハで!
https://www.bing.com/videos/search?q=%e5%90%9b%e3%81%ae%e5%90%8d%e3%81%af+%e5%b2%b8%e6%81%b5%e5%ad%90+%e6%98%a0%e7%94%bb&&view=detail&mid=029C40D87EA15333FD54029C40D87EA15333FD54&&FORM=VRDGAR&ru=%2Fvideos%2Fsearch%3Fq%3D%25e5%2590%259b%25e3%2581%25ae%25e5%2590%258d%25e3%2581%25af%2B%25e5%25b2%25b8%25e6%2581%25b5%25e5%25ad%2590%2B%25e6%2598%25a0%25e7%2594%25bb%26FORM%3DHDRSC3
或る◆非線型写像 F により F(C1)=C2 だ!◆と
数學者が 宣う。Fを明記願います;
其の数學者の名は;___ ___ ___ ___
C1が双曲線なら 其の漸近線を多様な発想で求めて!
無論 焦点をも 求めて!;
F1=( , )F2=( , )
共軛な双曲線も求めて!
C2が双曲線なら 其の漸近線を多様な発想で求めて!
無論 焦点をも 求めて!;
F1=( , )F2=( , )
共軛な双曲線も求めて!
不定方程式の解集合を ●導出法を明記し●
求めて下さい;
C1∩Z^2=
C2∩Z^2=
●導出法を 教材研究し 世界に 公開して!●
C1の媒介変数表示を求めて！;
C2の媒介変数表示を求めて！;
小林 (土曜日, 31 10月 2020 10:44)
math 様
最近、部活と校務に忙殺されていますので、返信ができなくて申し訳ありません。
Quora、mathnb 拝見しました。mathnb はmathさんのブログですか？
C1 は200^2-4*64*64>0,C2は44^2-4*24*(-12)>0 より共に双曲線だと思います。
媒介変数表示は個人的には、興味があり、挑戦してみたいです。
媒介変数表示は、標準形にする必要があるので、係数が有理数になって超複雑になってしまいそうです。
分母の有理化などのコマンド、パラメーターなどあれば、聞きたいです。
整数解の方は、なかなか大変そうで、手がつけられない状態です。
math ＋ nb (土曜日, 31 10月 2020 11:17)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html
[<----- 研究者の論文数多∃....)
の 中に 大橋 氏の ↓ ∃；
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1780-15.pdf
(<------ウン年前 の 昔 話...でも
「あっそうかぁ と 思うこと ∃)
pdf に z^n-1 の 困●数分解 在りて ↓
oretati = Table[z^n - 1, {n, 2, 9}]
Factor[%]
Factor[%%, Extension -> {I}]
Factor[%%%, Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[3], I}]
Plot[%, {z, -1.2, 1.2}]
oretati /. z -> x + I*y // ComplexExpand
{Re[%], Im[%]} // ComplexExpand // Flatten
Table[%[[k]] == 0, {k, 1, 7}]
ContourPlot[%, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}](*Bug \[Exists]?*)
(*n次曲線 達も 含め*)
>最近、部活と校務に忙殺されていますので
>Quora、mathnb 拝見しました。mathnb はmathさんのブログですか？
ハイ^2=ハイ [ハイは1度云えばよろしい! の 冪等言[元]]
コメント 大歓迎です 其処に
[[此処をご覧の 世界の 数學担当 諸氏にも コメント を 乞い願いmath ]]
mathは________で nbはノートブック で バレルようネーミング
>C1 は200^2-4*64*64>0,C2は44^2-4*24*(-12)>0 より共に双曲線だと思います。
ハイ
> 媒介変数表示は個人的には、興味があり、挑戦してみたいです。
>媒介変数表示は、標準形にする必要があるので、
●ンなこたぁーありませぬ とても容易で 瞬時に叶いmath!^(2000)●
校務に専念 [してるフリ 叶う!] 叶いmath. ですハイ^2=ハイ
[[余計なコトを記載し 荒らしと 捉えられ 顰蹙をかうかも知れず
訂正 可能に 仕組んでいただければ 幸甚です...]]
math [由宇の海で 屡 遊泳] (火曜日, 03 11月 2020 08:50)
(* この儘 mathematicaで 評価を;*)
(* すっきりと....... 劇的 ビフォー アフター[変換後]*)
before =(x-1)*y-(2*x-3)
X0=16+2(*-7*) ;(*<------可変です*)
F[x_,y_]:={(2-y)/(2x*y-2x-y), (1-x)/(2x*y-2x-y)}//Evaluate
F[x,(2*x-3)/(x-1)];
%//Together;
{X,Y}==%
Eliminate[%,x];
%[[2]]-%[[1]]//Expand
EliDE=%/.{X->x,Y->y}(*//TraditionalForm*)
pts={x,y}/.FindInstance[%==0&&-X0<x<X0&&-X0<y<X0,{x,y},Integers,170]
Pair=ListPlot[%,PlotStyle->{Magenta,PointSize[0.025]},PlotRange->All];
Fa=ContourPlot[{EliDE},{x,-X0,X0},{y,-X0,X0},PlotPoints->200,AspectRatio->Automatic,Axes->True,Contours->69];
AS=ContourPlot[{1/9 (-3 x+(6 Sqrt[3]-12) y+Sqrt[3]-3) (3 x+(12+6 Sqrt[3]) y+Sqrt[3]+3)==0,EliDE==0,before==0},{x,-X0,X0},{y,-X0,X0},AspectRatio->Automatic,Axes->True]
Show[Fa,AS,Pair]
%//Timing
Do[Print[Graphics[Disk[], ImageSize -> 19 n]], {n, 4}]
Print[Style["漸近線は 特異点を求めて [其の解消を我慢し] の手法 が在りmath", 3*14, Red]]
Print[Style[
"獲た \[FilledCircle]特異点の解消\[FilledCircle]を 我慢し の手法[由宇町生誕の町 と]", 19,
Magenta]]
Print[Style[" \[FilledCircle]非悠長\[FilledCircle]", 69, Blue]]
math 様 (火曜日, 03 11月 2020 19:52)
Mathematica の使い方、とても見事だと思いました。
特に Eliminate という関数には、驚きました。
グラフィックの使い方も参考になります。
このコメントの実行結果をpdfで貼り付け、記事として使ってもいいですか？
さて、任意の標準化？を、任意の２次関数で行うため、xy の係数をなくすところまで出来たので、順次アップしていきます。
仕事が遅くてすみません。
先日いただいたC1（C２はいまから検証しますが）、意外と扱いやすい形のようですね。
math (火曜日, 03 11月 2020 21:20)
>このコメントの実行結果をpdfで貼り付け、記事として使ってもいいですか？
無論 OKです。[使っていただき 逆に 謝辞を記します]