この notebook の目標
２次曲線　C':(Subscript[λ, 1])(X^2)+ (Subscript[λ, 2])(Y^2)+2f' X+2g' Y+c=0　を平行移動で標準形
(Subscript[η, 1])(X^2)+ (Subscript[η, 2])(Y^2)=1に変形する。

(Subscript[D, λ])=(({{(Subscript[λ, 1]), 0}, {0, (Subscript[λ, 2])}})) とおく。  (Subscript[λ, 1])(X^2)+ (Subscript[λ, 2])(Y^2)+2f’ X+2g’ Y+c=0 ⇔ (X Y)(Subscript[D, λ])(({{X}, {Y}}))+2(f' g')(({{X}, {Y}}))+c=0

  (Subscript[λ, 1])(X^2)+ (Subscript[λ, 2])(Y^2)+2f’ X+2g’ Y+c=0⇔(Subscript[λ, 1])(X+ ((((f')/(Subscript[λ, 1]))))^2)+(Subscript[λ, 2])(Y+ ((((g')/(Subscript[λ, 2]))))^2)+ c-(((f')/(Subscript[λ, 1]))^2)-(((g')/(Subscript[λ, 2]))^2)=0 ⇔((Subscript[λ, 1])/(C'))(X+ ((((f')/(Subscript[λ, 1]))))^2)+((Subscript[λ, 2])/(c'))(Y+ ((((g')/(Subscript[λ, 2]))))^2)=1 ,  c’=-c+(((f')/(Subscript[λ, 1]))^2)+(((g')/(Subscript[λ, 2]))^2)と変形できるので、


C’  は中心 O’ (X, Y)=(- ((f')/(Subscript[λ, 1])),  -((g')/(Subscript[λ, 2])))  標準形はC'':   ((Subscript[λ, 1])/(C'))(X^2)+ ((Subscript[λ, 2])/(c'))(Y^2)=1 である２次曲線である。

A=(({{64, -100}, {-100, 64}})); F=(({{146, -182}})); c=-59;(Subscript[C, 0])= Expand[ (({{x, y}})).A.(({{x}, {y}}))+2 F.(({{x}, {y}}))+c][[1]][[1]];(*　(Subscript[２次曲線C, 0])==0を与える　*)

Eigenvalues[A];

(Subscript[λ, 1]) =%[[1]]; (Subscript[λ, 2]) =%[[2]];

Eigenvectors[A];

u=%[[1]]/Sqrt[FullSimplify[Norm[%[[1]]]^2]];

R={{u[[1]],-u[[2]]},{u[[2]],u[[1]]}} ;

(Subscript[D, λ])={{(Subscript[λ, 1]),0},{0,(Subscript[λ, 2])}};(Subscript[D, λ])//MatrixForm(* 行列 (Subscript[D, λ]) *)

{f',g'}=(F.R)[[1]] (* f', g' を計算する*)

O'=-{%[[1]]/(Subscript[λ, 1]),%[[2]]/(Subscript[λ, 2])}//FullSimplify(* C'の中心　*)

C'= FullSimplify[ (({{X, Y}})).(Subscript[D, λ]).(({{X}, {Y}}))+2 (({{f', g'}})).(({{X}, {Y}}))+c][[1]][[1]]

c'=FullSimplify[-c+f'^2/(Subscript[λ, 1])+g'^2/(Subscript[λ, 2])]

C''= FullSimplify[ (1/(c'))(({{X, Y}})).(Subscript[D, λ]).(({{X}, {Y}}))-1][[1]][[1]](* 標準形　*)

ContourPlot[{C'==0,C''==0},{X,-10,10},{Y,-10,10},Axes->True] (* C' を平行移動　標準形C''に　*)